3对立体几何初步体系结构的思考

与以往立体几何的内容体系相比,本模块立体几何的体系结构有重大改革.以往立体几何内容,常从研究构成空间几何体的基础要素:点、直线和平面开始,讲述有关公理、定理,再研究由它们组成的几何体的结构特征、体积、表面积等等,基本上按照从局部到整体的原则.现在,先从对空间几何体的整体认识入手,再研究组成空间几何体的基本元素点、直线和平面.

这种安排遵循人类认识世界的过程,也符合学生的认知特点.它有助于发展学生的空间观念、减轻几何论证的难度,降低立体几何学习入门的门槛,提高学生学习立体几何的兴趣.

整体和局部是一个有机的整体.没有对整体的把握,也无从认识局部;同样,如果没有对局部更细致的认识,我们也无法更好地把握整体.因此,在学习完“点、直线、平面之间的位置关系”后,要引导学生从点、直线、平面的角度重新认识空间几何体,以达到对空间几何体的结构特征有更全面的认识.

4对几何直观以及几何推理的思考

空间几何体是实物的几何模型,它们直观、具体.特别是长方体,其中的棱与棱、棱与面、面与面之间的位置关系,是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的直观载体.学习时,一方面要引导学生从生活实际出发,把学习的知识与周围的实物联系起来,另一方面,要引导学生经历从现实的生活抽象出空间图形的过程,探索、归纳、概括它们的判定定理.比如,在教学中,要注重引导学生通过直观感知、操作确认,归纳出直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定定理.要引导学生借助图形直观,合情推理以及演绎推理,探索直线与平面、平面与平面平行与垂直等性质定理及其证明.在此基础上,进一步运用已经能够获得的结论证明一些空间位置关系的命题.

立体几何在构建直观、形象的数学模型方面有其独特作用.图形的直观,不仅为学生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撑,而且有助于培养学生的合情推理和演绎推理能力.

欧几里得公理体系把几何与逻辑结合起来,几何就与演绎推理结下了不解之缘,很久以来几何学就成为训练逻辑推理的素材,以期对几何形象所反映的客观世界有更理性的认识.从数学自身发展的过程来看,演绎推理并非“几何”所独有,它广泛存在于数学的各个分支中.近几十年的国际数学教育改革对几何推理的要求发生了一些变化,适当弱化演绎推理,更多地强调从具体情境出发,进行合情推理;从单纯强调几何的逻辑推理,转向更全面地体现几何的教育价值,特别是几何在发展学生空间观念,以及观察、操作、试验、探索、合情推理等“过程性”方面的教育价值.本模块立体几何初步的说明与建议正体现了这种变化.

5对解析几何基本思想的思考

解析几何的基础思想是把几何问题代数化,具体地说就是用坐标方法解决几何问题的“三步曲”:

第一步:建立适当的坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化为代数问题;

第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质,它沟通了代数与几何之间的联系,体现了数形结合的数学思想.对于几何中的直线,我们既从一次函数的角度研究它,又从方程的角度研究它,用代数运算作为工具,对直线进行了定量化描述,使对直线的研究由定性进入到定量.平面直角坐标系成为沟通平面几何、函数、解析几何的纽带,对同一个问题可以从不同的角度去认识.

在此需要特别说明的是,函数与曲线以及曲线与方程的关系.对一个圆,它是曲线,我们既可以从函数(分段函数)的角度研究它,也可以从方程的角度去研究它.但是两者之间是有区别的,从函数的角度看,函数体现更多的是一种数量关系,曲线只不过是它的一个直观形象;从方程的角度看,它是从曲线的几何特征出发,确定它的代数关系,用确定的代数关系(即方程)反过来表述这条曲线.它们虽然都体现了数形结合,但是其含义并不相同.

6对数学2教学要求的思考

与以往的立体几何教学要求相比,本模块在推理证明方面的要求降低了,弱化了以演绎推理为主要形式的定理证明,减少了定理的数量,删去了大量的几何证明题.对于直线与平面、平面与平面的平行和垂直的判定定理只要求通过直观感知、操作确认的方式归纳得出,不进行推理证明.在弱化证明的同时,加强了空间观念的培养.重视对空间图形的整体认识和把握,从看实物到想图形、从三视图想象空间图形,从空间图形的整体,到基本元素点、直线、平面之间的位置关系,这些都是为了强调发展学生的空间想象能力.

在解析几何初步的内容中,注意结合具体的图形:直线和圆,引导学生探索在平面上确定这些图形的几何要素,推导出它们的代数方程,进而运用方程研究它们之间的位置以及相互关系,体会用代数方法解决几何问题的思想.教学中要注意控制难度,避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练,避免在解题技巧上做文章.因此,用坐标法证明平面几何题要求不宜过高,适可而止.

上一页  [1] [2] [3] 下一页